Question

设S为实数集R的非空子集，若对任意x,y属于S,都有x+y,x-y,xy属于S，则称S为封闭集。下列命题：

1，集合S=｛a+b被的根号3|a,b为整数｝为封闭集；2.若S为封闭集，则一定有0属于S;3.封闭集一定是无限集；4.若S为封闭集，则满足S包含于T包含于R的任意集合T也是封闭集
其中的真命题是------
写出过程，谢谢！

Answer 1

1、正确
证明：任取x,y∈S，设x=a+b√3，y=c+d√3
则x+y=(a+c)+(b+d)√3，由于a，b，c，d均为整数，则a+c，d+b也是整数，因此x+y∈S
x+y=(a-c)+(b-d)√3，由于a，b，c，d均为整数，则a-c，d-b也是整数，因此x-y∈S
xy=ac+3bd+(ad+bc)√3，由于a，b，c，d均为整数，则ac+3bd，ad+bc也是整数，因此xy∈S
因此S封闭。

2、正确
证明：由于S封闭，任取x∈S，有x-x∈S，即0∈S。

3、错误
反例：S={0}，按定义验证是封闭的，但是有限集合。

4、错误
反例：S=｛a+b被的根号3|a,b为整数｝，由1的证明知S是封闭集，
设T=S∪{√2}，则S包含于T包含于R，但是T并不封闭。比如：√2∈T，√3∈T，但√2+√3不属于T。