Question

初二数学 四边形性质探索

如图，△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的长
①分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，试说明四边形AEGF是正方形；
②设AD=x，利用勾股定理建立关于x的方程模型

Answer 1

证明：（1）由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°．
∴∠EAF=90°．
又∵AD⊥BC，
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．
又∵AE=AD，AF=AD，
∴AE=AF．
∴四边形AEGF是正方形．

（2）解：设AD=x，则AE=EG=GF=x，
∵BD=2，DC=3，
∴BE=2，CF=3．
∴BG=x-2，CG=x-3．
在Rt△BGC中，BG2+CG2=BC2）
∴（x-2）2+（x-3）2=52，
∴（x-2）2+（x-3）2=52化简得，x2-5x-6=0．
解得x1=6，x2=-1（舍），
所以AD=x=6

Answer 2

①证明:∵∠E=∠G=∠F=90°.
∴四边形AEGF为矩形.
又AE=AD=AF.故四边形AEGF为正方形.
②AD=x,则EG=GF=x,BG=EG-BE=EG-BD=x-2;同理:CG=x-3.
BG²+CG²=BC²,即:(x-2)²+(x-3)²=(2+3)².
解之得:x=6(取正值). 即正方形边长为6.