Question

证明:当x>0时,不等式e的x次方>1+x成立。

越详细越好

Answer 1

e^x>x+1
设 y1 =e^x
y2 =x+1
从以上两个函数图像来看，
当 x>0，y1=e^x 的图像 总位于 y1=x+1 的图像的上方。
以上表明：只要 x>0 ，e^x > 1+x 恒成立。

Answer 2

设f(x)=e^x-x-1
任取x2>x1>0,则：x2-x1>0,e^x2-e^x1>0
f(x2)-f(x1)=e^x2-x2-1-e^x1-x1+1=x2-x1+e^x2-e^x1>0
f(x)在(0,正无穷)上递增，
f(x)>f(0)=0恒成立
即：当x>0时,不等式e的x次方>1+x恒成立。

Answer 3

设f(x)=e^x-x-1
f'(x)=e^x-1
当x>0时，f'(x)>0,所以f(x)是单调增函数
又f(0)=0,所以当x>0时，f(x)>f(0)=0
所以：e^x-x-1>0，即e^x>x+1