Question

已知g(x)=(a+1)的x-2方+1 (a＞0)的图像恒过定点A（2,2）且点A在函数f(x)=log√3（x+a）的图像上。

（1）求g(x)的反函数。 （2）若2f(√3-1)=f(x-3)+f(x-5),求x.

Answer 1

1、点A在函数f(x)=log√3（x+a）的图像上。
所以有：log√3(2+a)=2 得：(√3)^2=2+a
解得：a=1
所以可得：g(x)=2^(x-2)+1
于是有：2^(x-2)=g(x)-1
x-2=log2[g(x)-1]
即：x=log2[g(x)-1]+2
因此可得：g^-1(x)=log2(x-1)+2

2、f(x)=log√3(x+1)
所以有：f(√3-1)=log√3(√3-1+1)=1
f(x-3)=log√3(x-2),f(x-5)=log√3(x-4)
因：2f(√3-1)=f(x-3)+f(x-5)
所以有：log√3(x-2)+log√3(x-4)=2
log√3[(x-2)(x-4)]=2
(x-2)(x-4)=(√3)^2
x^2-6x+5=0
x=1(舍去), 或 x=5
综上可得：x=5

Answer 2

（1）把点A(2,2)代入f(x)得：2=log√3(2+a)，则2+a=3，所以a=1；
g(x)=3^(x-2)+1，即：y=3^(x-2)+1，y-1=3^(x-2)，则：x-2=log3(y-1)；
x=2+log3(y-1)，即：x=log3(9y-9)；
即g(x)的反函数g^-1(x)=log3(9x-9)；
（2）f(x)=log√3(x+1)，
f(√3-1)=log√3(√3-1+1)=log√3(√3)=1；
即：f(x-3)+f(x-5)=2；
log√3(x-2)+log√3(x-4)=2，显然：x>4
log√3(x²-6x+8)=log√3(3)
所以：x²-6x+8=3
x²-6x+5=0
(x-1)(x-5)=0
x1=1（舍去），x2=5；
所以，x=5

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！