Question

解析几何难题

在平面上，给定非零向量b，对任何向量a，定义向量c=a-(2（a·b）/|b|^2)b
(1)若b=(2,1)证明：若位置向量a的终点在直线Ax+By+C=0上,则位置向量c的终点也在一条直线上

Answer 1

设a=(x,y)
c=a-(2（a·b）/|b|^2)b
=(x,y)-[2(2x+y)/5](2,1)
=((-3x-4y)/5,(3y-4x)/5)
(4B-3A)xC+(4A-3B)/7 yC =(Ax+By)/5=-C/5
所以位置向量c的终点也在一条直线上

Answer 2

a·b=|a|·|b|·cos<a,b>
cos<a,b>=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(a1/|a|)(b1/|b|)+(a2/|a|)(b2/|b|)=(a1b1+a2b2)/(|a|·|b|)
a·b=a1b1+a2b2
c=a-(2(a1b1+a2b2)/|b|^2)b,代入b=(2,1)
c=(a1,a2)--((4a1+2a2)/5)(2,1)=((a1-2(4a1+2a2)/5), a2-(4a1+2a2)/5)
=((-3a1/5+4a2/5), -4a1/5+7a2/5))=1/5(-3a1+4a2,-4a1+7a2)
代入Aa1+Ba2+C=0,a2=(-Aa1-C)/B, c=-1/5((3+4A/B)a1+4C/B, (4+7A/B)a1+7C/B)
c1=-1/5((3+4A/B)a1+4C/B)=A1a1+C1
c2=-1/5((4+7A/B)a1+7C/B)=A2a1+C2
由上式可知向量c的终点也在一条直线上

Answer 3

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Answer 4

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