Question

证明：N维向量组a1,a2.....an线性无关的充分必要条件是任意n维向量都可以表示为a1,a2....an的线性组合。

这道题应该怎么做啊，这是我们的作业题，是线性代数第三章关于线性组合，线性表示，线性无关那部分的，哪位高手帮我证一下吧

Answer 1

先证必要性（前推后），因为任意n+1个n维向量必线性相关。所以任意向量b与a1...an相关。存在不完全为0的n+1个数k1...kn,kn+1.使得k1*a1+...kn*an+kn+1*b=0；若kn+1=0，a1...an相关，矛盾，所以kn+1不等于0.即b可以被a1...an线性表出。即表示维a1...an德线性组合。
充分性，n维单位向量e1...en可以被a1...an线性表出。a1...an也可以被e1...en线性表出。所以他们等价。所以a1...an的秩为n。所以a1...an线性无关。
证毕。

Answer 2

必要性:
a1,a2,...an线性无关
=> |a1,a2,...an| ≠ 0
=> 对任一n维向量b, (a1,a2,...an)X = b 有解
=> 任一n维向量b都可被a1,a2,...an线性表示
充分性:
因为任一n维向量都可被a1,a2,...an线性表示
所以n维基本向量组ε1,ε2,...,εn可由a1,a2,...an线性表示
所以 n = r(ε1,ε2,...,εn) <= r(a1,a2,...an).
所以 a1,a2,...an 线性无关.

Answer 3

证明 必要性
设a为任一n维向量
因为a1 a2 ……an线性无关
而a1a2 ……ana是n+1个n维向量
是线性相关的
所以a能由a1· a2······an线性表示
且表示式是唯一的
充分性 已知任一n维向量都可由a1 a2……an线性表示,
故单位坐标向量组e1e2……en能由a1a2 …… an线性表示,
于是有n=R(e1e2……en)≤R(a1a 2…… an)≤n
即R(a1 a2…… an)=n
所以a1 a2 …… an线性无关
山财的吧。。。。
自己做，小心给你零分