Question

数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形

数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；

Answer 1

．解：（1）正确．

证明：在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．

∴BM＝BE．∴∠BME＝45°.∴∠AME＝135°．

∵CF是外角平分线，

∴∠DCF＝45°.∴∠ECF＝135°．

∴∠AME＝∠ECF．

∵∠AEB＋∠BAE＝90°，∠AEB＋CEF＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF．

∴△AME≌△BCF（ASA）．

∴AE＝EF．

（2）正确．

证明：在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．

∴BN＝BE．

∴∠N＝∠FCE＝45°.

四边形ABCD是正方形，

∴AD‖BE．

∴∠DAE＝∠BEA．

∴∠NAE＝∠CEF．

∴△ANE≌△ECF（ASA）．

∴AE＝EF．

Answer 2

1.在AB上取一点H 连接BH 使BE＝BH
因为ABCD是正方形
所以AH=EC,∠AHE=135°
CF平分∠DCG
所以∠ECF=135°
AE⊥EF
所以∠FEC+∠AEB=90°
∠BAE+∠AEB=90°
所以∠BAE=∠FEC

这样在ΔAEH与ΔFEC中
∠AHE=∠ECF
∠BAE=∠FEC
AH=EC
故ΔAEP≌ΔFEC

2.过点E作EM垂直BE交CF于点M，
因∠MCE=45度，所以EM=CE
因∠CEM=∠AEF=90度，所以∠CEA=∠MEF
而∠ACE=∠FME=135度
所以ΔACE≌ΔFME
所以AE=EF

所以AE=EF

Answer 3

是不是数学评价手册上的？
证明：在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．

∴BM＝BE．∴∠BME＝45°.∴∠AME＝135°．

∵CF是外角平分线，

∴∠DCF＝45°.∴∠ECF＝135°．

∴∠AME＝∠ECF．

∵∠AEB＋∠BAE＝90°，∠AEB＋CEF＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF．

∴△AME≌△BCF（ASA）．

∴AE＝EF．

（2）正确．

证明：在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．

∴BN＝BE．

∴∠N＝∠FCE＝45°.

四边形ABCD是正方形，

∴AD‖BE．

∴∠DAE＝∠BEA．

∴∠NAE＝∠CEF．

∴△ANE≌△ECF（ASA）．

∴AE＝EF．

Answer 4

解：（1）正确．

证明：在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．

∴BM＝BE．∴∠BME＝45°.∴∠AME＝135°．

∵CF是外角平分线，

∴∠DCF＝45°.∴∠ECF＝135°．

∴∠AME＝∠ECF．

∵∠AEB＋∠BAE＝90°，∠AEB＋CEF＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF．

∴△AME≌△BCF（ASA）．

∴AE＝EF．

（2）正确．

证明：在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．

∴BN＝BE．

∴∠N＝∠FCE＝45°.

四边形ABCD是正方形，

∴AD‖BE．

∴∠DAE＝∠BEA．

∴∠NAE＝∠CEF．

∴△ANE≌△ECF（ASA）．

∴AE＝EF．

Answer 5

哈，这是我今天刚做的一道题啊，正在这里求解呢~~~

Answer 6

真复杂 ···························