Question

定义在(-1,1)上的函数fx满足 对任意x,y都有fx+fy=f(x+y\1+xy),高一数学题求解！！具体步骤！！

定义在（-1，1）上的函数fx满足 对任意x,y都有fx+fy=f（x+y\1+xy），如果当x属于（-1，0）时，有fx>0，求证 fx在(-1,1)上是单调递减函数

baidu上也能搜到不清楚的答案，但我要具体过程步骤，谢谢！

Answer 1

令y=-x,代入f(x)+fy=f（x+y\1+xy），得f(x)+f(-x)=f(0)
由此，f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数。
令-1<x<-y<0(即0<y<1)
代入fx+fy=f（x+y\1+xy）
得f(x)+f(-y)=f(x-y\1-xy)
左边=f(x)-f(y),
由-1<x<-y<0，知道x-y<0且xy<1(所以1-xy>0)
（x-y\1-xy）<0,如果当x属于（-1，0）时，有fx>0
所以f(x-y\1-xy)>0,即f(x)-f(y)>0
由函数单调性得定义，x<y,f(x)-f(y)>0,所以函数单调递减

Answer 2

首先f(0)+f(0)=f(0+0\1+0)=f(0)
所以f0=0
而f(x)+f(-x)=f(x+-x\1+x*(-x))=f0=0
所以f(x)是定义在在(-1,1)上的奇函数
即有fy=-f-y
不妨设x∈（-1,0），y∈(0，1)且x<-y
所以f(x)-f(-y)=fx+fy=f(x+y/1+xy)
因为x<-y,所以x+y<0,而x,y∈(-1，1)
所以xy∈(-1，1）
所以1+xy>0
所以x+y/1+xy<0
而当x属于（-1，0）时，有fx>0
所以fx-f-y>0
fx>f-y
因为x<-y，所以f(x)在(-1,0)上是单调递减函数
而f(x)是定义在在(-1,1)上的奇函数（已证）
所以 fx在(-1,1)上是单调递减函数

Answer 3

令x=y=0求得f(0)=0
令x=tana y=tanb -T/4<a,b<t/4 (由于圆周率打不出，用T代替）
于是f(x+y/1+xy)=f[tan(a+b)]=f(tana)+f(tanb)
当0<a,b时tana,tanb>0 f(x)为递增函数
所以f(x)>0

Answer 4

http://zhidao.baidu.com/question/332721655.html