Question

函数f(x)=4^x-a*2^(x+1) (-1≤x≤2)的最小值为g(a),则g(2)=,g(a)= 详细的解答过程

这是一道填空题,g(2)和g(a)我同学都算出来只有一个值.....,都是确切的数字
怎么会有这么多种情况

Answer 1

令t=2^x, 由-1=<x<=2
得1/2=<t<=4
f(t)=t^2-2at=(t-a)^2-a^2
若对称轴x=a在区间，即 1/2=<a<=4, 则有：g(a)=-a^2
若对称轴在区间右边，即a>4, 则:g(a)=f(4)=16-8a
若对称轴在区间左边，即a<1/2, g(a)=f(1//2)=1/4-a
a=2时，g(2)=-4

Answer 2

解：因为f(x)=4^x-a*2^(x+1) (-1≤x≤2)，所以f'(x)=4^x*ln4-2aln2*2^x，当f'(x)=0时，4^x*ln4=2aln2*2^x，注意到ln4=2ln2，2^x=a，x=以2为底a的对数。在x<以2为底a的对数时，f'(x)<0，在x>以2为底a的对数时，f'(x)>0，所以此为f(x)的极小值。
现将以2为底a的对数记为ln(2,a)
若ln(2,a)<=-1，则f(x)在[-1,2]上单调递增，最小值在x=-1处取到，所以g(a)= 0.25-a，g(2)=-7/4
若ln(2,a)>=2，则f(x)在[-1,2]上单调递减，最小值在x=2处取到，所以g(a)=16-8a，g(2)=0
若-1<ln(2,a)<2，则f(x)在[-1,2]上最小值在x=ln(2,a)，所以g(a)=-a^2，g(2)=-4