Question

如图所示，在三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线，E,F分别为AB,AC上的点，且∠EDF+EAF=180.求证：DE=DF

Answer 1

证明：从D分别做AB、AC垂线，交AB、AC于M、N

D在角平分线上，所以DM=DN

∠AMD=∠AND=90，所以∠EAF+∠MDN=180（四边形内角和360）

∠EAF+∠EDF=180，∠EDF=∠MDN

∠MDN-∠EDN=∠EDM，∠EDF-∠EDN=∠FDN

∴∠EDM=∠FDN

在△EDM和△FDN中，∠EDM=∠FDN，∠DME=∠DNF=90，DM=DN

△EDM≌△FDN

DE=DF

Answer 2

过D作DG垂直AB,DH垂直AC,垂足G,H

所以角EGD=FHD=90度

因AD平分角BAC

所以DG=DH

因为角BAC+EDF=180度,

所以角AED+角DFH=180度

因为角AED+DEG=180度

所以角DEG=DFH

所以三角形DEG全等于DFH

所以DE=DF

Answer 3

证明：
作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N
则∠EMD=∠FND=90º............................①
∵∠EAF+∠EDF=180º
∴∠AED+∠AFD=180º
∵∠AED+∠BED=180º【此处设E在AM之间，若M在AE之间，则取∠AFD+∠CFD=180º】
∴∠BED=∠AFD................................②
∵AD平分∠BAC
∴DM=DN.........................................③
∴⊿DME≌⊿DNF（AAS）【①②③】
∴DE=DF
【角度问题也可这样】
∵∠AMD+∠AND=90º+90º=180º
∴∠EAF+∠MDN=180º
∵∠EAF+∠EDF=180º
∴∠MDN=∠EDF
∴∠MDE=∠NDF【旋转角】
加上两个直角，和DM=DN，∴≌

Answer 4

第一种，如果初三学的很好，这个能看懂（用圆的知识）。
因为角EDF+角EAF=180度
所以AEDF四点共圆
因为角EAD=角FAD
所以DE=DF（等角对等弦）

第二种，如果是初二的同学，就得用最基本的思路：截长补短
在AC边上取一点M，使AE=AM
在三角形AED与三角形AMD中
AE=AM
角EAD=角MAD
AD=AD
所以三角形AED与三角形AMD全等
所以角AMD=角AED，ED=MD
因为角EDF+角EAD=180度
所以角AED+角AFD=180度（四边形内角和360度）
所以角DMF=180度-角AMD=180度-角AED=角AFD
所以DM=DF
所以ED=DM=DF
所以ED=DF

Answer 5

证明：
过D分别作AB、AC的垂线，垂足分别为P、Q
所以∠APD=∠AQD=90°
因为AD平分∠BAC
所以DP=DQ（角平分线上的点到角两边的距离相等）
在四边形APDQ中∠PAD+∠APD+∠AQD+∠PDQ=360°（四边形的内角和为360°）
而∠APD+∠AQD=180°
所以∠PAD+∠PDQ=180°
即∠BAC+∠PDQ=180°
而∠EDF+∠BAC=180°
所以∠EDF=∠PDQ
因为AD是∠BAC的平分线，DQ⊥AC，DP⊥AB
所以AD也是∠PDQ的平分线
故∠PDA=∠ADQ，∠BAD=∠DAC
∠EDP=∠ADE-∠ADP
∠FDQ=∠ADQ-∠ADF
所以∠EDP-∠FDQ=∠ADE-∠ADP-∠ADQ+∠ADF=∠ADE+∠ADF-(∠ADP+∠ADQ)=∠EDF-∠PDQ
已证∠EDF=∠PDQ
所以∠EDP-∠FDQ=0
即∠EDP=∠FDQ
在直角三角形EDP和直角三角形FDQ中
∠EDP=∠FDQ（已求）
DQ=DQ（已求）
∠EPD=∠FQD=90°(已知)
所以直角三角形EDP和直角三角形FDQ全等（ASA）
所以DE=DF（全等三角形的对应边相等）。