Question

f(x+1)=f(x)+f(1) 函数f(x)=1/x是否属于集合M

已知集合M是满足下面性质的函数f(x)的全体：在定义域内，方程f(x+1)=f(x)+f(1)有实数解。（1）函数f(x)=1/x是否属于集合M？说明理由；（2）设 函数f(x)=lgt/(x²+1）∈M，求t的取值范围

Answer 1

1） f(x)=1/x,
f(x+1)=1/(x+1)=f(x)+f(1)=1/x+1
去分母：x=x+1+x^2+x
x^2+x+1=0
此方程没实根
因此f(x)不属于M。
2）f(x+1)=lgt/[(x+1)^2+1]=f(x)+f(1)=lgt/(x^2+1)+lg（t/2）
t/(x^2+2x+2)=t^2/[2(x^2+1)]
因为t>0, 所以 t(x^2+2x+2)=2(x^2+1)
x^2(t-2)+2tx+2t-2=0有解
delta=4t^2-8(t-2)(t-1)>=0
解得：3-√5<t<=3+√5