Question

函数y=f(x)对于任意的正实数x、y,都有f(xy)=f(x)f(y)，当x>1时，0<f（x）<1,且f（2）=1/9

1求证f（x）f（1/x）=1（x>0） 2、判断f（x）在（0，正无穷）的单调性，并证明
3、若f（m）=3，求正实数m的值

Answer 1

1、证明：∵函数y=f(x)对于任意的正实数x、y，都有f(xy)=f(x)f(y)
∴f（2*1）=f（2）*f（1）
而f（2）=1/9
∴f（1）=1
而当x＞0时，f（x）f（1/x）=f（x*1/x）
=f（1）
=1
2、 单调递减
证明：设x1、x2，且x2＞x1＞0
令x2=n*x1，则可知，n＞1
所以 f（x2）-f（x1）=f（n*x1）-f（x1）
=f（n）*f（x1）-f（x1）
=f（x1）*[f（n）-1]
而（1）当x>1时，0<f（x）<1，f（x1）＞0
所以f（n）＜1，即 f（n）-1＜0
即，当x>1时，f（x2）＜f（x1） 单调递减
（2）当 0＜x≤1时，1/x2≥1,1/x1≥1
f（1/x2）＜f（1/x1）
而f（x,）*f（1/x）=1，所以f（x1）=1/f（1/x1），f（x2）=1/f（1x2）
所以 f（x2）＜f（x1）
3、因为f（m）=3
所以 f（m）*f（m）=9
而f（2）=1/9，f（1/2）=1/f（2）=9
即f（m）*f（m）=f（m^2）
=f（1/2）
即 m^2=1/2
而m＞0，所以m=2分之根号2

Answer 2

证明：（1）令x=y=1则f(1)=f(1)*f(1),故f（1）=0或1
若f（1）=0，则f（2*1）=f（2）=f（2）f（1）=0，与已知条件矛盾，故f（1）=1
令y=-x，则f（1）=f（x）f（1/x)=1
即f(x)f(1\x)=1(x>0)
（2）易知对任意x>0,都有f（x)>0
设x2>x1>0,则x2/x1>1,f(x2/x1)<1
则：f(x2)=f(x1)f(x2/x1)
故f(x2)/f(x1)=f(x2/x1)<1
因此f(x)在（0,+∞）上单调递减
（3）f（1）=f(2)f(1/2)
解得f(2)=9
f(m^2)=f(m)^2=9
由于f（x)是单调函数，因此m^2=2
故正实数m=根号2