已知圆O1与圆O2相交于A、B两点,点O1在圆O2上,C为O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与圆O1交于另一点D。

若C是圆O1内一点,求证O1C⊥AD.... 若C是圆O1内一点,求证O1C⊥AD. 展开
euler27
2011-11-29 · TA获得超过2702个赞
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根据C所外位置情况可分为两种情况,C在弧O₁A和  弧O₁B

证明:(1)C在弧O₁A上时

廷长O₁C交AD于F点;连接AO₁并廷长交O₁于E点;连接EB,AB

∵AE为直径,所以∠EBA=90°

∴∠O₁EB+∠BAO₁=90°

在O₁中, 劣弧AB所对的圆周角相等

∴∠ADB=∠O₁EB

在O₂中,劣弧O₁B所对的圆周角相等

∴∠BAO₁=∠BCO₁

又∵∠BCO₁=∠DCF

∴∠DCF=∠BAO₁

∴∠ADB+∠DCF=∠O₁EB+∠BAO₁=90°

∴∠CFD=90°

∴CO₁⊥AD              

(2)C在弧O₁B上时,如图

手机用户e6d66
2011-11-29 · TA获得超过6.3万个赞
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证明:作⊙O1直径AE、连结AB、BE,⊙O1中,∠C=∠O1AB,四边形ADBE内接于圆,∠ADC=∠E,∵AE是直径,∴∠ABE=Rt,即∠O1AB+∠E=Rt,∴∠C+∠ADC=Rt,即CO1⊥AD,证毕。
另:在直线O1C上⊙O1外、除点C外还有无数点,这些点连结B后AD不变,但这些点与O1连线是不会与AD互相垂直的,所以问题补充说“C是⊙O1外一点”但若不限定在⊙O2上的话,则不能证明。
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明湖风
2011-11-23 · TA获得超过610个赞
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