Question

设a为实数，函数f（x+a）=（x+a）|x|，x∈R．

设a为实数，函数f（x+a）=（x+a）|x|，x∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（1）＞2，求a的取值范围；
（3）当0≤x≤1时，求f（x）的最大值g（a）．

Answer 1

解1: 令 x+a=t 则x=t-a
则 f(t)=t|t-a|
故其解析式为 f(x)=x|x-a|
解2 由题目,有
|1-a|>2
此不等式等价于 1-a>2 或1-a<-2
解得 a<-1 或 a>3
解3. 若 x-a≥0
则 有f(x)=x^2-ax
此时 g(a)=f(1)=1-a
若 x-a<0
则有 f(x)=-x(x-a)=-x^2+ax
此时 g(a)=f(0)=0

Answer 2

分析：（1）用换元法求f（x）的解析式（2）解关于a的绝对值不等式；（3）转化函数为分段函数，每一段用二次函数求得最值，两段中取最大的．
解：（1）令x+a=t，
∴x=t-a，
∴f（t）=t|t-a|．
∴f（x）=x|x-a|（x∈R）．

（2）∵f（1）＞2，
∴|1-a|＞2，
∴a-1＞2或a-1＜-2，
∴a＞3或a＜-1，
∴a的取值范围是a＞3或a＜-1．

（3）1.当a≤0时，有f(x)=x(x-a),此时根据图像很容易看出g(a)=f(1)=1-a
2.2>a>1时，有f(x)=-x(x-a),此时抛物线开口向下，所以g(a)=f(a/2)
=a^2/4
3.0<a<x,此时g(a)=f(x)=x(x-a)