Question

P是圆O外一点，PA切圆O于A，AB是圆O的直径，PB交圆O于C,若PA=2cm，PC=1，求阴影部分面积

Answer 1

解：
根据切割鉴定理：
PA²=PC*PB （可通过△PAC∽△PBA证明）
则PB=PA²/PC=4，BC=PB-PC=4-1=3
∵ A 是切点，则OA⊥PA
∴AB²=PB²-PA²=15，AB=2√3，半径OA=√3
∵∠ACB=90° （直径上的圆周角为直角）
∴ AC=√(PA²-PC²)=√3
sin∠B=AC/AB=√3/(2√3)=1/2
∠B=30°，∠AOC=2∠B=60°
S扇形OAC=60/360*π*OA²=π/2
S△ABC=1/2*BC*AC=3√3/2
S△OAC=S△OBC=1/2S△ABC=3√3/4
S弓形AC=扇形OAC-S△OAC=π/2-3√3/4
S△PAB=1/2*AB*PA=√15
S△PAC=1/2*PC*AC=√3/2
好了，每部分的面积都有了，你看阴影是哪个部分，加减一下就行了。
S△PAB在圆外部分=S△PAC-S弓形AC=√3/2-(π/2-3√3/4)=5√3/4-π/2
S△PAB在圆内部分=S△ABC+S弓形AC=3√3/2+(π/2-3√3/4)=3√3/4+π/2