Question

设0<x<y,且x,a,y是等差数列，x,b,c,y是等比数列，求证： （1）a>1/2(b+c); (2)(a+1)^2>(b+1)(c+1)

求详细的过程，尤其是第二问，要最详细的过程

Answer 1

由x,a,y是等差数列，得2a=x+y
由x,b,c,y是等比数列，0<x<y，知公比q>1，且xy=bc
(1) 2a -(b+c)=x+y-(b+c)=x-xq+xq³-xq²=x(1-q)+xq²(q-1)=x(q-1)(q²-1)>0,
所以 a>(b+c)/2
(2) (a+1)²=a²+2a+1=[(x+y)/2]²+2a+1>xy+b+c+1=bc+b+c+1=(b+1)(c+1)
所以 (a+1)²>(b+1)(c+1)

追问

第二问实在看不懂，能详细点嘛

追答

由2a=x+y，得a=(x+y)/2，由基本不等式(x+y)/2≥√(xy)， 注：√(xy)表示根号下xy
得[(x+y)/2]²≥xy
又由第（1）问知 2a>b+c
所以 (a+1)²=a²+2a+1=[(x+y)/2]²+2a+1>xy+b+c+1=bc+b+c+1=(b+1)(c+1)

追问

问最后一个问题，你知道是怎么知道公比q>1的

追答

由x,b,c,y是等比数列，y是第4项，所以y=x•q³，又 01，所以q>1