Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点分别为F1、F2,且|F1F2|=2c,点A在椭圆上,

向量AF1X向量F1F2=O,向量AF1X向量AF2=c^2,则椭圆的离心率e=?

Answer 1

由AF1•F1F2=O，得AF1⊥F1F2，
所以⊿F1AF2是Rt⊿，cos∠F1AF2=|AF1|/|AF2|
从而　AF1•AF2=|AF1|•|AF2|cos∠F1AF2=|AF1|²
由条件知AF1•AF2=c²
所以　|AF1|²=c²，|AF1|=c，
|AF2|²=|AF1|²+|F1F2|²=5c²，|AF2|=√5•c
又|AF1|+|AF2|=2a，即(1+√5)c=2a，e=2/(1+√5)=(√5-1)/2

Answer 2

|AF1|垂直|AF2| |AF1|=|AF2|cos<AF1,AF2>
向量AF1X向量AF2=|AF1||AF2|cos<AF1,AF2>=|AF1|^2=c^2 |AF1|=c
|AF2|^2=|AF1|^2+|F1F2|^2=5c^2 |AF2|=根号5c
|AF1|+|AF2|=(根号5+1)c=2a
e=c/a=2/(根号5+1)=(根号5-1)/2

Answer 3

e=(-1+√5)/2