Question

如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连接AC．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP=2S△ACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
2011达州初三数学中考题，图没弄上。

Answer 1

（1）设抛物线方程为y=a(x-b)^2+c，有题可知抛物线关于x=-1对称，所以b=-1。把A（1,0），C（0，3）代入方程得a=-1,c=4，所以抛物线方程为y=-1(x+1)^2+4
（2）设D的坐标为（x0,y0），则向量DC 垂直于向量CA，向量DC=（x0,y0-3），向量CA=（-1,3），所以有-x0+3(y0-3)=0,又有y0=-1(x0+1)^2+4，所以D（x0,y0）=（-7/3,20/9）
(3)假设存在一点M（-1，y1），由前面可知p（-1,4），向量PC=（-1,1），向量AC=（1，-3），向量AP=（2，-4），所以PC长根号2，AC长为根号10，AP长为根号20，有余弦定理可知cosCAP=5倍根号2分之一，再求sinCAP,从而2S△ACP=2*(1/2)*根号10*AP长为根号20*sinCAP=2，所以S△MAP=1=1/2*（4-y1）*2，得y1=3
=

Answer 2

如果图中对称轴的坐标为x=-1那么解析式就是图中所示。第二问的答案是（-7/3，20/9）过程为设该点为（x，y）由垂直转换为向量乘积为零来做，有向量ac乘向量dc等于零得出关系式3y-x-9=0
再由点y=-（x+1）^2+4两式联立结的两点（-7/3，20/9）和（1，0）后者为A点前者为所求点。
（3）同样设该点为（x，y）方法为用点到直线的距离公式求出c到PA的距离（这是直接可以求出的数）其中PA的直线方可以求出为2x+y-2=0再由点（x，y）到直线的距离为刚的2倍球得x与y的关系式，再联立y=-（x+1）^2+4看是否有解既可，若有解，解出的点就是所求坐标。若无解说明不存在该点

Answer 3

(1)y=-x^2-2x+3

（3）把△PCA分为△PCE和△CEA，求出P（-1，4）A（1，0）可以求出直线PA的解析式，E在Y轴上，则可以求出E（0，2），OE=2，则CE=1，S△PCA=S△PCE+S△CEA=1×1÷2+1×1÷2=1，则S△MAP=2
S△MAP=pm*2÷2
设M（-1，X），M可能在P上方也可能在P下方，则PM=/4-x/
/4-x/×2÷2=2
解得X1=2，X2=6
则M（-1，2）和M（-1，6）