Question

如图，抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），设抛物线的顶点为D

（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线顶点D的坐标；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由
file://C:\Documents and Settings\Administrator\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.IE5\WYV982Y8\9c0ed204[1].jpg

Answer 1

将A、B、C三点的坐标代入二次函数解析式，求得a=1 b=-2 c=-3则解析式为y=x^2-2x-3
顶点坐标横坐标 -b/2a ，(4ac-b^2)/4a D（1,-4）
存在，P（0，0） 姑且简单说明一下：过D做轴的垂线，从而推出垂足为E。则三角形BOC及三角形CED为等腰直角三角形
由图像对称轴为X=1 D（1,-4）及OC=OB=3 角BCD直角
有勾股定理分别求得边为：BC=3根号2 CD=根号2 BD=2根号5 PC=3PA =1 AC=根号10
三条对应变的比值为：根号2 故存在。

追问

第三问中P点有三种情况是(0,0)(0,1/3)(9,0),请问另外两种情况的过程是什么？

追答

（3）当P(9,0)这时 pa=10 pc=9*9+3*3=3根号10 ac=根号10 他们对应边的比值为根号5
（2）当P（0，1/3）pa的平方=1+(1/3^)2=10/9 则pa=1/3根号10 ac=根号10 pc=3+1/3=10/3
它们对应边的比为：根号5/3 图略
我只算了一种，谢谢你让我学到了另外两种情况

Answer 2

(1)
y
=
ax^2
+
bx
+
c
代入A,B,C的坐标:
A:
a
-b
+
c
=
0
B:
9a
+
3b
+
c
=
0
C:
c
=
3
a
=
-1,
b
=
2,
c
=
3
y
=
-x^2
+
2x
+
3
(2)
y
=
-x^2
+
2x
+
3
=
-(x
-
1)^2
+4
D(1,
4)
抛物线对称轴为x
=
1
P是C的以x
=
1为对称轴的对称点时,
|DC|
=
|DP|,
△PDC是等腰三角形
P的横坐标为2,
P(2,
3)
(3)
BC斜率k1
=
(3-0)/(0-3)
=
-1
CD斜率k2
=
(4-3)/(1-0)
=
1
k1*k2
=
-1
BC与CD垂直,
DM与CB平行,
DM斜率-1,
方程为
y
-
4
=
-(x
-1)
(点斜式)
y
=
-x
+
5
=
-x^2
+
2x
+
3
x^2
-3x
+
2
=
0
(x-1)(x-2)
=
0
x
=
1
(顶点D,
舍去)
x
=
2
与抛物线交点M(2,
3)