Question

双曲线x^2-y^2/4=1,过P(1,1)的直线L与双曲线只有一个公共点,求直线l的斜率的值

Answer 1

1、若直线L的斜率不存在，次数L：x=1，与双曲线x²－y²/4=1有一个公共点，满足；
2、若直线L的斜率存在，设其斜率为k，则L：y=k(x－1)＋1，代入双曲线方程，得：
(4－k²)x²＋2k(k－1)x－(k－1)²－4=0
①若4－k²=0，即k=±2时，此方程是一元一次方程，有唯一解，满足；
②若4－k²≠0即k≠±2，此时此方程是一元二次方程，则其判别式=0，此时无解。

从而，直线斜率不存在或斜率k=±2时，直线L与双曲线只有一个公共点。

Answer 2

若直线有斜率，设斜率为k，方程为 y=k(x-1)+1，
代入双曲线方程得 4x^2-[k(x-1)+1]^2=4，
化简得 (4-k^2)x^2-2k(1-k)x-(1-k)^2-4=0，
因为直线与双曲线只有一个公共点，所以
Δ=4k^2(1-k)^2-4(4-k^2)[-(1-k)^2-4]=0
解得 k=±2；
若直线没有斜率，则方程为 x=1，它与双曲线确实只有一个公共点（1，0）。

综上，直线的斜率为 -2 或 2 或 不存在。