Question

已知双曲线X^2-Y^2/4=1,过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点,求直线l的方程

Answer 1

解答：
分类讨论
（1）若直线L的斜率不存在，
此时直线为x=1，
利用图像，容易知道直线与双曲线x²-y²/4=1只有一个公共点，
满足题意；
（2）若直线L的斜率存在，
设直线L的方程为y-1=k(x-1)，
即 y=kx-k+1,代入双曲线方程4x²-y²=4，
4x²-[kx-(k-1)]²-4=0
化简得：
(4-k²)x²+2k(k-1)x-(k-1)²-4=0
①若4-k²=0，即k=±2时，此方程是一元一次方程，有唯一解，
∴ 直线与双曲线只有一个交点，
满足题意；
② 若4-k²≠0
此时，判别式=4k²(k-1)²+4(4-k²)*[(k-1)²+4]=0
∴k²(k-1)²+(4-k²)*(k²-2k+5)=0
∴k²+4(k²-2k+5)+5k²=0
∴10k²-8k+20=0
∴ 5k²-4k+10=0
无解。

综上，满足条件的直线方程为x=1或 y=2x-1或y=-2x+3