Question

f(x)在的某邻域内连续，切limx趋于0f(x)/x(1-cosx)=-1，证明x=0是驻点但不是极...

f(x)在的某邻域内连续，切limx趋于0f(x)/x(1-cosx)=-1，证明x=0是驻点但不是极值点

Answer 1

由于limf(x)=limf(x)/x(1-cosx)*limx(1-cosx)=-1*0=0，故f(0)=0，于是
lim(f(x)-f(0))/(x-0)=lim（f(x)/x(1-cos))*lim(1-cosx)=-1*0=0，故f'(0)=0，是驻点。
由于limf(x)/x(1-cosx)=-1，故在0的一个邻域内有f(x)/x(1-cosx)<0，于是当x>0时，分母大于0，分子必须小于0，即f(x)<0，当x<0时，分母小于0，分子必须大于0，即f(x)>0，于是f(0)不是极值