Question

在三角形abc中,角a=90°,ad垂直bc,e为直角边ac中点,过d、e作直线交于ab的延长线于f。

求证 AB乘AF=AC乘DF

Answer 1

证明：过点A作AP⊥FD于点P，过点C作CQ⊥FD于点Q，
由于点E为AC中点，易证△AEP≌△CEQ
∴AP＝CQ
∴S△AEP＝S△CEQ(同底等高)
即1/2*AF*AD*Sin∠FAD=1/2*DF*CD*Sin∠CDE
Sin∠FAD=Sin(π-∠BAD)
=Sin(∠BAD)
=Sin(∠ECD)(△ADB∽△CAB)
=Sin(∠CDE)
(Rt△CDA中斜边AC上的中线ED=1/2*AC,又EC=EA,故∠CDE＝∠ECD)
故可得AF*AD＝DF*CD
即DF/AF=AD/CD
又△ADC≌△BAC，可得AD/CD=AB/AC
故DF/AF=AB/AC
即AB*AF=AC*DF

Answer 2

证明：
∵ E为AC中点，AD⊥BC
∴ AE＝ED ＝〉∠EDA＝∠EAD
又∵∠EAD＋∠DAB＝90°＝∠DAB＋∠B
∴ ∠EDA＝∠B ＝〉∠FDA＝∠B
在△FDA与△FBD中，∠F＝∠F，∠FDA＝∠B
∴ △FDA∽△△FBD
∴ AF／DF＝AD／DB
又 AD／DB＝tan∠B＝AC／AB
∴ AF／DF＝AC／AB ＝〉AB×AF＝AC×DF