Question

已知直线Y=x+b与抛物线Y2=2py（P＞0）相交于A，B两点，若OA⊥OB，O为坐标原点且

已知直线Y=x+b与抛物线Y2=2py（P＞0）相交于A，B两点，若OA⊥OB，O为坐标原点且S△AOB=2根号5，求抛物线方程

Answer 1

设AB坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)

AB在直线上满足直线方程y=x+b，x=y-b，有：x1=y1-b x2=y2-b

因OA垂直OB故有：

y1/x1*y2/x2=-1

y1/(y1-b)*y2/(y2-b)=-1

y1y2+(y1-b)(y2-b)=0

2y1y2-(y1+y2)b+b^2=0 ---(1)

把AB的方程x=y-b代入抛物线方程有：

y^2=2p(y-b)

y^2-2py+2pb=0

此方程两根即为y1,y2，由韦达定理有：

y1+y2=2p

y1y2=2pb

上两式代入（1）得

4pb-2pb+b^2=0

2pb+b^2=0

显然b<>0

故有：b=-2p <0

AB与X轴交点为C(-b,0)

因三角形AOB=2根号5，又三角形AOB=|b|*y1-y2|/2

|b|y1-y2|/2=2√5

b^2*(y1-y2)^2=80

b^2[(y1+y2)^2-4y1y2]=80

b^2[4p^2-8pb]=80

b^2(p^2-2pb)=20

4p^2(p^2+4p^2)=20

p^4=1

p=1（p>0）

抛物线的方程为：y^2=2x

Answer 2

你抛物线写错了

追问

y^2=2py

我想这个小错误 不妨碍你解题

追答

哦，应该是X²=2PY
解： 设A(X1，X1+b) B(X2，X2+b)
由OA⊥OB得 2x1x2+b（x1+x2）+b²=0
联解 y=x+b X²=2PY 消去y得 x²-2px-2pb=0
由韦达定理 x1x2=-2pb x1+x2=2p带，入得-4pb+2pb+b²=0
即 b²=2bp (b≠0，等于0的情况自己可以思考下)
所以b=2p （p＞0，则b＞0）
下面利用面积了。已知直线跟X轴的交点设为C易得C(-b，0)那么
S△OAB=S△OCB-S△OCA=½b|y2-y1|=½b|x1-x2|=½b√（ x1+x2）²-4x1x2
化简得并将 b=2p 。得p√p²+4p=√5
解得p=1
所以X²=2Y