Question

曲线C是平面内与两个定点F1(-1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a²（a＞1）的点的轨迹，给出下列

三个结论：①曲线C过坐标原点 ②曲线C关于坐标原点对称 ③若点P在曲线上，则△F1PF2的面积不大于（1/2）a²。其中，所有正确结论的序号是_____

Answer 1

解：对于①，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的得： (x+1)2+y2•(x-1)2+y2=a2⇔[（x+1）2+y2]•[（x-1）2+y2]=a4（1）将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；
对于②，把方程中的x被-x代换，y被-y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称．②正确；
对于③，由题意知点P在曲线C上，则△F1PF2的面积 S△PF1F2=12×2×y，
由（1）式平方化简的：y4+[（x+1）2+（x-1）2]y2+（x2-1）2-a4=0⇒ y2=-x2-1+4x2+a4或y2=-x2-1-4x2+a4（舍）
把三角形的面积式子平方的： S△PF1F22=y2 对于 y2=-x2-1+4x2+a4（2）
令 4x2+a4=t(t≥a2＞1)⇒ x2=t2-a44
代入（2）得 y2=-t24+a44-1+t= -14(t-2)2+a44≤ a44，
故可知 S△PF1F2=12×2×y≤1/2a2所以③不正确．
故答案为：②