Question

中心在原点，一焦点为F1(0，5根号2)的椭圆被直线L: y=3x-2截得弦的中点横坐标为1/2，求此椭圆的方程？用高

用高中的方法解

Answer 1

中心在原点，一焦点为F(0,5倍根号2）的椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为1/2，求此椭圆的标准方程。

已知椭圆的中心在原点，且焦点F(0,5√2)在y轴上
所以，设其标准方程为：y^2/a^2+x^2/b^2=1（a＞b＞0）
即：a^2x^2+b^2y^2-a^2b^2=0
由焦点坐标得到，c^2=a^2-b^2=(5√2)^2=50………………（1）
联立椭圆与直线的方程，得到：
a^2x^2+b^2y^2-a^2b^2=0
y=3x-2
所以：a^2x^2+b^2(3x-2)^2-a^2b^2=0
===> a^2x^2+b^2(9x^2-12x+4)-a^2b^2=0
===> a^2x^2+9b^2x^2-12b^2x+4b^2-a^2b^2=0
===> (a^2+9b^2)x^2-12b^2x+4b^2-a^2b^2=0
所以：x1+x2=12b^2/(a^2+9b^2)
已知弦的中点的横坐标为1/2，即(x1+x2)/2=1/2
所以，x1+x2=1
===> 12b^2/(a^2+9b^2)=1
===> a^2+9b^2=12b^2
===> a^2=3b^2………………………………………………（2）
联立(1)(2)得到：
a^2=75
b^2=25
所以，椭圆的标准方程为：x^2/25+y^2/75=1

Answer 2

看到直线切椭圆，就要把直线方程与椭圆方程（设一个）联立，从而得出一个关于x的二次方程，当然这里有别的未知数。看到一元二次方程，又有横坐标值和，就要想到韦达定理，即x1+x2=-a/b,并且椭圆方程中y^2/c^2+x^d=1中的c^2-d^2=（5根号2）^2,并且根据韦达定理得出的方程中也有c,d。最终解出c d,得到方程：x^2/25+y^2/75=1
解这类题，要注意方程的联立，椭圆方程的性质，以及应用原有知识如韦达定理，并且计算功夫要扎实！

Answer 3

设A（x1，y1），B（x2，y2）
y1-y2/x1-x2=3
x1+x2=1，y1+y2=-1
x^2/a^2+25+y^2/a^2=1
a^2x^2+(a^2+25)y^2=a^2(a^2+25)
a^2(x1+x2)(x1-x2)+(a^2+25)(y1+y2)(y1-y2)=0
a^2=-75/2<0
所以这样椭圆不存在

Answer 4

解题思路：用点差法
知识点：“点差法”。
1.设P(x1，y1)，Q(x1，y2)是椭圆b²x²+a²y²=a²b²上不同的两个点，k为它们所在直线的斜率，M(x0，y0)为PQ的中点。则有
　　　　　　　　　k=-b²•x0/(a²•y0) (1)
关于弦的中点问题，(1)式是个有用的式子，推导过程如下：
代点：　b²x1²+a²y1²=a²b²
b²x2²+a²y2²=a²b²
作差：b²(x2-x1)(x2+x1)-a²(y2-y1)(y2+y1)=0
整理后，就可得到(1)式。
2. 对于焦点在y轴上的椭圆，有
k=-a²•x0/(b²•y0) (2)
证明方法是一样的。
本题中，椭圆被直线L: y=3x-2截得弦的中点横坐标为1/2，所以纵坐标为-1/2，
代入（2）式，得3=a²/b²，即a²=3b²，又 c=5√2，a²=b²+50，解得a²=75，b²=25
椭圆的方程为x²/25+y²/75=1