Question

已知函数f(x)=ax^3+ bx^+cx+d(x属于R,a不等于0）-2是f(x)的一个零点,又f(x)在x=0处有极值，

在区间（-6，-4）和（-2,0）上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反
1.求b/a的取值范围
2.当b=3a时，求使{y:y=f(x),x大于等于-3，x小于等于2}包含于[-3，2]成立的实数a的取值范围

Answer 1

f(-2)=-8a+4b-2c+d=0
f'(x)=3ax^2+2bx+c, f(0)=0=c
f'(x)=3ax^2+2bx
1）在区间（-6，-4）和（-2,0）上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反, 则另一个极值点在[-4,-2]之间
f'(-4)f(-2)'<=0, 得：(48a-8b) (12a-4b)<=0
化为：(6a-b)(3a-b)<=0
两边同时除以a^2,得：(b/a-6)(b/a-3)<=0
因此有：3=<b/a<=6

2）b=3a, f'(x)=3ax^2+6ax=3ax(x+2), 另一个极值点为-2
在-3=<x<=2， -3=<f(x)<=2
由题意极值点及端点值都需在区间[-3,2]
由题意f(-2)=0， f(0)=d, 则-3=<d<=2---> -10/3=<-5d/3<=5
端点值f(-3)=-3c+d, -3=<-3c+d<=2 ---> -2=<-2c+2d/3<=4/3
f(2)=20a+2c+d, ---> -3=<20a+2c+d<=2
此三式相加，消去c,d得： -25/3=<20a<=25/3
因此有： -5/12=<a<=5/12

Answer 2

f'(x)=3ax²+2bx+c，由f(x)在x=0处有极值，得f'(0)=c=0
所以 f'(x)=3ax²+2bx，令f'(x)=0，得x1=-2b/3a，x2=0
1.由于 f(x)在区间(-6，-4)和(-2，0)单调性相反，所以
-4≤-2b/3a≤-2
解得 3≤b/a≤6
2.当b=3a时，由f(-2)=0，得-8a+12a+d=0，d=-4a，f(x)=ax³+3ax²-4a
由f'(x)=0，得x1=-2，x2=0
所以 f(x)在[-3，-2]、[-2，0]、[0、2]上是单调的。
要使 f(x)在x∈[-3，2]的值域包含于[-3，2]，只需f(x)在x∈[-3，2]上的最值在区间[-3，2]内。
计算出 f(-3)=-4a，f(-2)=0，f(0)=-4a，f(2)=8a
(1)当a>0时，最小值为f(0)=f(-3)=-4a，最大值为f(2)=8a，所以
-3≤-4a且8a≤2 ，解得a≤1/4；
(2)当a<0时，最大值为f(0)=f(-3)=-4a，最小值为f(2)=8a，所以
-3≤8a且-4a≤2 ，解得a≥-3/8。
实数a的取值范围为 -3/8≤a<0或0<a≤1/4.

Answer 3

f(-2)=-8a+4b-2c+d=0
f'(x)=3ax^2+2bx+c, f(0)=0=c
f'(x)=3ax^2+2bx
1）在区间（-6，-4）和（-2,0）上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反, 则另一个极值点在[-4,-2]之间
f'(-4)f(-2)'<=0, 得：(48a-8b) (12a-4b)<=0
化为：(6a-b)(3a-b)<=0
两边同时除以a^2,得：(b/a-6)(b/a-3)<=0
因此有：3=<b/a<=6

2）b=3a, f'(x)=3ax^2+6ax=3ax(x+2), 另一个极值点为-2
在-3=<x<=2， -3=<f(x)<=2
由题意极值点及端点值都需在区间[-3,2]
由题意f(-2)=0， f(0)=d, 则-3=<d<=2---> -10/3=<-5d/3<=5
端点值f(-3)=-3c+d, -3=<-3c+d<=2 ---> -2=<-2c+2d/3<=4/3
f(2)=20a+2c+d, ---> -3=<20a+2c+d<=2
此三式相加，消去c,d得： -25/3=<20a<=25/3