Question

如图,在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合）.连接DP交对角线AC于E，连接BE.

（1）说明角APD=角CBE;
(2)试问P点运动到什么位置时，三角形ADP的面积等于菱形ABCD面积的1/4？为什么？

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是菱形
∴BC=CD，AC平分∠BCD（2分）
∵CE=CE
∴△BCE≌△DCE（4分）
∴∠EBC=∠EDC
又∵AB∥DC
∴∠APD=∠CDP（5分）
∴∠EBC=∠APD（6分）

（2）当P点运动到AB边的中点时，S△ADP= 1/4S菱形ABCD．（8分）
连接DB
∵∠DAB=60°，AD=AB
∴△ABD等边三角形（9分）
∵P是AB边的中点
∴DP⊥AB（10分）
∴S△ADP= 12AP•DP，S菱形ABCD=AB•DP（11分）
∵AP= 12AB
∴S△ADP= 12× 12AB•DP= 1/4S菱形ABCD
即△ADP的面积等于菱形ABCD面积的 1/4．（12分）

分析：（1）可先证△BCE≌△DCE得到∠EBC=∠EDC，再根据AB∥DC即可得到结论．
（2）当P点运动到AB边的中点时，S△ADP= 1/4S菱形ABCD，证明S△ADP= 12× 12AB•DP= 1/4S菱形ABCD即可．

Answer 2

证明：（1）∵四边形ABCD是菱形
∴BC=CD，AC平分∠BCD（2分）
∵CE=CE
∴△BCE≌△DCE（4分）
∴∠EBC=∠EDC
又∵AB∥DC
∴∠APD=∠CDP（5分）
∴∠EBC=∠APD（6分）

（2）当P点运动到AB边的中点时，S△ADP= 1/4S菱形ABCD．（8分）
连接DB
∵∠DAB=60°，AD=AB
∴△ABD等边三角形（9分）
∵P是AB边的中点
∴DP⊥AB（10分）
∴S△ADP= 12AP•DP，S菱形ABCD=AB•DP（11分）
∵AP= 12AB
∴S△ADP= 12× 12AB•DP= 1/4S菱形ABCD
即△ADP的面积等于菱形ABCD面积的 1/4．（12分）

Answer 3

第二问麻烦
连接BD
因为AB=AD
∠DAB=90°
△DAB为等边三角形
根据三线合一，则△ADP的面积等于菱形ABCD面积的 1/4．