Question

2011年初中数学竞赛试题

已知在△ABC中，AB=2AC，∠BAC=60°。P为△ABC中一点，且AP=根号3，BP=5，CP=2,。求△ABC的面积。

Answer 1

解题思路：
（1）先证明△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形；
（2）利用作对称图形的方法 求出△ABC的面积。

详细解答：
（1）在线段AB上截取AD=AC
∵ AB=2AC，AD=AC
∴ DB=DC
∴ ∠ABC=∠DCB

∵ AD=AC，且AD与AC的夹角∠BAC=60°
∴ △ADC 是等边三角形
∴ ∠ADC = 60°

∵∠ADC 是等腰△DBC 的一个外角
∴∠ADC = ∠ABC + ∠DCB
= 2∠ABC
则 60° = 2∠ABC
∴ ∠ABC = 30°

而 ∠BAC=60°

∴ 在 △ABC 中，∠ACB = 90°

（2）分别作点P关于AC的对称点P1，
作点P关于AB的对称点P2，
作点P关于BC的对称点P3，

连AP1 连AP2 连P1P2，由对称性 知：
△AP1P2 是等腰三角形，且有AP1 = AP2 = √3，P1P2 = 3，∠P1AP2 = 2∠BAC = 120°
易求得 等腰△P1AP2 的面积为：S△P1AP2 = （3√3）/ 4。

同理，△BP2P3 是等边三角形，且有BP2 = BP3 = P2P3 = 5，∠P2BP3 = 2∠ABC = 60°
易求得等边△BP2P3 的面积为：S△BP2P3 = （25√3）/ 4。

连CP1 连CP3，
则CP1 = CP = 2， CP3 = CP = 2，∠P1CP3 = 2∠ACB = 180°，即P1、C、P3 共线。
在 △P1P2P3 中，P1P2 = 3， P1P3 = 4，P2P3 = 5
∴ △P1P2P3 是Rt△，其面积为：S Rt△P1P2P3 = 6。

∴S△P1AP2 + S△BP2P3 + S Rt△P1P2P3
=（3√3）/ 4 +（25√3）/ 4 + 6
= 7√3 + 6

由对称性 知：
S△AP2B = S△APB
S△BP3C = S△BPC
S△AP1C = S△APC

∴ S△APB + S△BPC + S△APC
= （1/2）× （S△P1AP2 + S△BP2P3 + S Rt△P1P2P3 ）
= （1/2）× （7√3 + 6）
= （7√3 + 6）/ 2

即：△ABC的面积 为 （7√3 + 6）/ 2

Answer 2

（1）在线段AB上截取AD=AC
∵ AB=2AC，AD=AC
∴ DB=DC
∴ ∠ABC=∠DCB

∵ AD=AC，且AD与AC的夹角∠BAC=60°
∴ △ADC 是等边三角形
∴ ∠ADC = 60°

∵∠ADC 是等腰△DBC 的一个外角
∴∠ADC = ∠ABC + ∠DCB
= 2∠ABC
则 60° = 2∠ABC
∴ ∠ABC = 30°

而 ∠BAC=60°

∴ 在 △ABC 中，∠ACB = 90°

（2）分别作点P关于AC的对称点P1，
作点P关于AB的对称点P2，
作点P关于BC的对称点P3，

连AP1 连AP2 连P1P2，由对称性 知：
△AP1P2 是等腰三角形，且有AP1 = AP2 = √3，P1P2 = 3，∠P1AP2 = 2∠BAC = 120°
易求得 等腰△P1AP2 的面积为：S△P1AP2 = （3√3）/ 4。

同理，△BP2P3 是等边三角形，且有BP2 = BP3 = P2P3 = 5，∠P2BP3 = 2∠ABC = 60°
易求得等边△BP2P3 的面积为：S△BP2P3 = （25√3）/ 4。

连CP1 连CP3，
则CP1 = CP = 2， CP3 = CP = 2，∠P1CP3 = 2∠ACB = 180°，即P1、C、P3 共线。
在 △P1P2P3 中，P1P2 = 3， P1P3 = 4，P2P3 = 5
∴ △P1P2P3 是Rt△，其面积为：S Rt△P1P2P3 = 6。

∴S△P1AP2 + S△BP2P3 + S Rt△P1P2P3
=（3√3）/ 4 +（25√3）/ 4 + 6
= 7√3 + 6

由对称性 知：
S△AP2B = S△APB
S△BP3C = S△BPC
S△AP1C = S△APC

∴ S△APB + S△BPC + S△APC
= （1/2）× （S△P1AP2 + S△BP2P3 + S Rt△P1P2P3 ）
= （1/2）× （7√3 + 6）
= （7√3 + 6）/ 2

即：△ABC的面积 为 （7√3 + 6）/ 2