Question

设直线l与抛物线y^2=2px(p>0)交于A.B两点,已知当l经过抛物线的焦点且与x轴垂直时，三角形OAB的面积为1/2

问题当直线l经过点P（a，0）（a>0）且与x轴不垂直时，若在x轴上存在点C，使得三角形ABC为正三角形，求a的取值范围

Answer 1

首先，由OAB=1/2知p=1，则方程为y^2=2x。
设直线L方程为y=k(x-a)，则直线与抛物线的交点为(1/k^2+a+(1/k^2+2a)^(1/2)/k, 1/k+(1/k^2+a)^(1/2))与(1/k^2+a-(1/k^2+2a)^(1/2)/k, 1/k-(1/k^2+a)^(1/2))。则此两点到C(c,0)距离AC=BC相等，写出方程并化简得：(1/k^2+2a)^(1/2)*4/k*(1+a+1/k^2-c)=0，则c=1+a+1/k^2。
另外由等边三角形知，AC与BC夹角为60度，则满足|(k1-k2)/(1-k1*k2)|=3^(1/2)，令b=(1/k^2+2a)^(1/2)，则k1=(1/k+b)/(b/k-1)，k2=-(1/k-b)/(b/k+1)，整理得b^2+b*2/3^(1/2)-1=0，解得b1=-3^(1/2)（舍去），b2=3^(-1/2)。故2a+1/k^2=1/3。
所以0<a<1/6