Question

已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f(x)组成的集合

①f(x)在其定义域上是单调增函数或单调减函数；
②在f(x)的定义域存在区间[a,b]，使得f(x)在[a,b]上的值域是[a/2,b/2].
(1)判断函数f(x)=√x是否属于M？并说明理由. 若是，则请求出区间[a,b]；
(2)若函数f(x)=√(x-1)+t∈M，求实数t的取值范围.
尽可能详细点

Answer 1

1）f(x)在定义域单调增
由√a=a/2, √b=b/2
得： a=0, b=4
因此f(x)属于M， [a,b]为[0,4]
2) f(x)是单调增的，定义域为x>=1
方程√(x-1)+t=x/2需有两个不小于1的不等正根
x-1=(x/2-t)^2
即g(x)=x^2/4-(t+1)x+t^2+1=0
delta=t^2+2t+1-t^2-1=2t>0, 得t>0
对称轴x=2(t+1)>1, 得：t>-1/2
g(1)=1/4-t-1+t^2+1=t^2-t+1/4=(t-1/2)^2>=0
因此只需t>0即可。