Question

f定义在R上的偶函数f(x) 满足f(x+1)=-f(x) ,且在[-1,0]上是增函数,下面是关于f(x)的判断:

①f(x) 关于点(1/2,0) 对称；②f(x) 的图像关于直线X=1 对称；
③在[0，1]上是增函数； ④ f(2)=f(0)
其中正确的判断是_____。（把你认为正确的判断都填上）

Answer 1

①②④正确。由　f(x+1)=-f(x)　　（1）
得　f(x+2)=-f(x+1) （2）
（1）代入　（2）得
　　f(x+2)=f(x)　　　　（3）
从而　f(2)=f(0)

又　f(-x)=f(x)，代入（1）得
f(x+1)=f(-x) ，
在上式中用x-1/2替换x，得
　　f(1/2 +x)= -f(1/2 -x)
所以f(x) 关于点(1/2,0) 对称。
　　
将f(-x)=f(x)，代入（3）得
　　f(x+2)=f(-x)，　　
用x-1替换x，得 f(1+x)=f(1-x)
所以(x) 的图像关于直线X=1 对称。

③不正确。由于偶函数在y轴两侧具有相反的单调性，知③错。

追问

又f(-x)=f(x),代人(1)得
f(x+1=f(-x)，————这里是不是错了？

Answer 2

令x=0 则、：f(1)=-f(0)
令x=-1 则： f (0)=-f(-1)
而函数是个偶函数： f(x)=f(-x) f(1)=f(-1) f(0)=-f(1) 故： 函数最起码关于y轴对称。
对于这样的函数。没有明确的解析式的函数，最好是找特殊点，赋值法

令x=1 则：f(x+1)=-f(x) f(2)=--f(1) 而) f(0)=-f(1) （上面自己看） f(2)=-f(0)