Question

线性代数证明题

设n阶矩阵A,B满足AB=aA+bB.其中ab不等于0证明
(1)A-bE和B-aE都可逆
(2)A可逆<=>B可逆
(3)AB=BA
谢谢~

Answer 1

证明:
(1) 因为 AB=aA+bB
所以 (A-bE)(B-aE)=AB-aA-bB+abE=abE
因为ab≠0, 所以 A-bE,B-aE 都可逆
且 (A-bE)^-1 = (1/ab)(B-aE)
(B-aE)^-1 = (1/ab)(A-bE)

(2) 由AB=aA+bB
得 A(B-aE)=bB
所以由b≠0, B可逆 即得知A可逆.
同理, A可逆时可得B可逆.

(3)由(1)(A-bE)^-1 = (1/ab)(B-aE)
所以 (A-bE)[(1/ab)(B-aE)]=[(1/ab)(B-aE)](A-bE)
所以 (A-bE)(B-aE)=(B-aE)(A-bE)
得 AB-aA-bB+abE=BA-aA-bB+abE
所以 AB=BA.

追问

(A-bE)[(1/ab)(B-aE)]=[(1/ab)(B-aE)](A-bE)
这步我不是特别明白，麻烦您讲解一下，其实我也不知道可逆矩阵在等号两边移动时的规则，是本来左乘到另一边也是左乘，本来右乘到另一边也是右乘，而独立项移动后左乘右乘都行么？谢谢~

追答

若 A^-1 = B
则 AB = BA = E
在此只用了 AB = BA

Answer 2

AB=aA+bB
两边左乘A^(-1)得
B=a+bA^(-1)B
B-aE=bA^(-1)B (1)
两边右乘B^(-1)得
A=aAB^(-1)+b
A-bE=aAB^(-1) (2)
(1)×(2)得
(A-bE)(B-aE)=aAB^(-1) *bA^(-1)B=ab
即(A-bE)(B-aE)/(ab)=1
所以A-bE和B-aE都可逆
且A-bE逆是(B-aE)/(ab)，B-aE逆是(A-bE)/(ab)，

若A可逆，两边左乘A^(-1)得
B=a+bA^(-1)B
[E-bA^(-1)]B /a=E
因此B可逆，且B的逆是[E-bA^(-1)]/a
同理可证
若B可逆，两边左乘B^(-1)得
A=aAB^(-1)+b
A[E-aB^(-1)] /b=E
因此A可逆，且A的逆是[E-aB^(-1)] /b

AB=aA+bB
两边同乘A^(-1)
B=a+bA^(-1)B
两边右乘A
BA=aA+bA^(-1)BA
这个地方做不出来了