设fx可导，求证:fx+f'x在fx两零点之间一定有零点
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设gx=fx+f'x
因fx有两个零点，设为x1，x2，(x1<x2)
1）若fx为常函数，有两个零点，则必有fx=0，∴f'x=0，则gx=fx+f'x=0，结论成立
2）若fx不为常函数，有两个零点x1，x2，则由中值定理知，
存在ζ∈(x1,x2)，使得 f'ζ*(x2-x1)=fx2-fx1=0，即f'ζ=0
即fx在(x1,x2)上有极值存在，则在ζ两边，函数的单调性相反，即有 f'x1*f'x2<0
而gx1=fx1+f'x1=0+f'x1=f'x1, gx2=fx2+f'x2=0+f'x2=f'x2
∴gx1*gx2=f'x1*fx2<0，即gx在两端点x1，x2符号相反
由中值定理知，必然存在ξ∈(x1,x2)，使得 gξ=0，∴结论成立
希望对你有帮助
因fx有两个零点，设为x1，x2，(x1<x2)
1）若fx为常函数，有两个零点，则必有fx=0，∴f'x=0，则gx=fx+f'x=0，结论成立
2）若fx不为常函数，有两个零点x1，x2，则由中值定理知，
存在ζ∈(x1,x2)，使得 f'ζ*(x2-x1)=fx2-fx1=0，即f'ζ=0
即fx在(x1,x2)上有极值存在，则在ζ两边，函数的单调性相反，即有 f'x1*f'x2<0
而gx1=fx1+f'x1=0+f'x1=f'x1, gx2=fx2+f'x2=0+f'x2=f'x2
∴gx1*gx2=f'x1*fx2<0，即gx在两端点x1，x2符号相反
由中值定理知，必然存在ξ∈(x1,x2)，使得 gξ=0，∴结论成立
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意法半导体(中国)投资有限公司
2023-06-12 广告
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