Question

设f(x)是定义在[-1,1]的偶函数,f(x)与g(x)的图像关于直线x-1=0对称,且当x属于[2,3

设f(x)是定义在[-1,1]的偶函数，f(x)与g(x)的图像关于直线x-1=0对称，且当x属于[2,3]时，g(x)=a(x-2)-2(x-2)^3(a为常数) 若a属于(-6,6),问能否使f(x)的最大值为4.

Answer 1

因为g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称,
所以f(x)=g(2-x).
当x∈[-1,0]时,则2-x∈[2，3],
所以f(x)=g(2-x)=2a(2-x-2)-3(2-x-2)^3=-2ax+3x^3
即f(x)=-2ax+3x^3;
当x∈[0,1]时,根据偶函数关于y轴对称可得
f(x)=f(-x)=2ax-3x^3.
综上所述,当x∈[-1,0]时,f(x)=-2ax+3x^3;
当x∈[0,1]时,f(x)=f(-x)=2ax-3x^3.
当x∈[0,1]时,f(x)=f(-x)=2ax-3x^3,
其导数为2a-9x^2.
由2a-9x^2>0得x^2<2a/9,所以-根号(2a/9)<x<根号(2a/9).
又a>9/2,所以2a/9>1,根号(2a/9)>1.
所以当x∈[0,1]时,2a-9x^2>0恒成立,即x∈[0,1]时f(x)增函数;
由对称性,知x∈[-1,0]时f(x)减函数;
可知函数最大值是f(1)或f(-1),所以
f(1)=2a-3=4,所以a=7/2属于(-6,6)