Question

设数列{an}的前n项和为sn,且2an=sn+2n+1 求数列｛n*an｝的前n项和Tn

求过程！！

Answer 1

Sn=2an-2n-1
S(n-1)=2a(n-1)-2(n-1)-1=2a(n-1)-2n+1
所以an=Sn-S(n-1)=2an-2a(n-1)-2
即an=2a(n-1)+2
an+2=2(a(n-1)+2)
又a1=S1=2a1-3，即a1=3
所以{an+2}为首项为a1+2=5，公比为2的等比数列
an+2=5*2^(n-1)，即an=5*2^(n-1)-2
Tn=5[1*1+2*2+3*2^2+…+(n-1)*2^(n-2)+n*2^(n-1)]-2(1+2+3+…+n)①
2Tn=5[1*2+2*2^2+3*2^3+…+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n]-4(1+2+3+…+n)②
①-②得，-Tn=5[1+2+2^2+…+2^(n-1)-n*2^n]+2(1+2+3+…+n)
=5(2^n-1-n*2^n)+n(n+1)
=5(1-n)2^n+n^2+n-5
Tn=5(n-1)2^n-n^2-n+5

Answer 2

2an=sn+2n+1 (1)
2an-1=sn-1+2(n-1)+1 (2)
(1)- (2)
2an-2an-1=an+2
an+2=2[a(n-1)+2]
[an+2]/[a(n-1)+2]=2等比公比为2首项3+2=5
an+2=5*2^(n-1)
an=5*2^(n-1)-2
n*an=5n*2^(n-1)-2n
前面错位求和，后边直接求和即可