Question

如图，已知抛物线y=x^2-1与x轴交于A,B两点

如图，已知抛物线y=x^2-1与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C。
2009-4-12 20:00 提问者：伪你变乖521亮 | 浏览次数：2121次
（1）求A,B,C三点的坐标
（2）过点A作AP平行于CB叫抛物线于P，求四边形ACBP的面积
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG垂直于x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与三角形PCA相似，若存在，请求出M点的坐标，否则，请说明理由
我记得有三解

Answer 1

1,令y=0得X^2-1=0 x=±1
令x=0得y=-1
∴A(-1,0), B(1,0) C(0,-1)
2, 直线BC解折式为Y=X-1
故设AP解折式为Y=X+M
将X=-1, Y=0代入0=-1+M
∴M=1
∴AP解折式为Y=X+1
联立Y=X+1, Y=X^2-1得X1=2,Y1=3, X2=-1, Y2=0
∴P(2, 3)
∴S四边形ACBP=1/2*2(3+1)=4
3, 可知∠PAB=45°,∠BAC=45°
∴∠PAC=90°
又AC=√2, AP=3√2
若△AMG与△ACP相似则AG:MG=AP:AC=3,或AG:MG=AC:AP=1/3
设M(a,a^2-1)
则|a+1|/(a^2-1)=3 或 |a+1|/(a^2-1)=1/3
若a>-1, (a+1)/((a^2-1)=3 或 (a+1)/(a^2-1)=1/3
即 a=4/3，或 a=4
若a<-1, -(a+1)/((a^2-1)=3 或 -(a+1)/(a^2-1)=1/3
即 a=2/3 与 a <-1不合舍去，或 a=-2
所以 有3个点：
∴M(4,15)或(-2,3)或（4/3,7/9)

Answer 2

（1）当y=0，代入y=x^2-1，可知x=±1，所以A（-1，0） B (1,0)
当x=0，代入y=x^2-1，可知y=-1，所以C （0，-1）
（2）已知C B 的坐标，可求出斜率k=1，因为平行，所以AP斜率也是1，代入A点坐标，即可求 出AP的解析式为y=x+1，与y=x^2-1连列求解，即可求出P点坐标为（2，3），讲ACBP分为ACB和APB求面积，以AB为底，即可求出面积为2×1×1／2+2×3×1／2＝4
（3）易知AC和AP的斜率分别为-1和1，所以AC和AP 垂直，所以PCA是直角三角形，同时可求AC／AP=1／3，假设存在符合条件的M点则GA／MG=1／3或3（即M点在左侧或右侧），设M（x，x^2-1），所以（-1-x）／（x^2-1)=1／3或者（x^2-1）／（x+1）=1／3,求出结果为（-2，3）和（4／3，7／9）。 （最后一步要舍掉不合条件的结果）