Question

在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F． （1）在图1中证明CE=CF

在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），求∠BDG的度数；(要证明)

Answer 1

（1）证明：如图1，

∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠DAF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，

∴∠CEF=∠F．

∴CE=CF．

（1）根据AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证∠CEF=∠F．即可

（2）解：连接GC、BG，

∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，

∴四边形ABCD为矩形，

∵AF平分∠BAD，

∴∠DAF=∠BAF=45°，

∵∠DCB=90°，DF∥AB，

∴∠DFA=45°，∠ECF=90°

∴△ECF为等腰Rt△，

∵G为EF中点，

∴EG=CG=FG，CG⊥EF，

∵△ABE为等腰Rt△，AB=DC

∴BE=DC，

∵∠CEF=∠GCF=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°

∴△BEG≌△DCG，

∴BG=DG，

∵CG⊥EF，

∴∠DGC+∠DGA=90°，

又∵∠DGC=∠BGA，

∴∠BGE+∠DGE=90°，

∴△DGB为等腰Rt△，

∴∠BDG=45°，

(2)根据∠ABC=90°，G是EF的中点可直接求得

Answer 2

证明：（1）如图1，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F．
∴CE=CF．
（2）过G作GM⊥BC于M，GN⊥CF于N，连BG
G为EF中点，所以MGNC为正方形，
BM＝DN
GM＝GN
所以△BGM≌△DGN
所以BG=DG，∠BDG＝90
∠BDG＝45

Answer 3

证明：（1）因为ABCD是平行四边形，AF是∠BAD的平分线，所以∠BAF=∠FAD=∠AEB
∠AEB=∠CEF(对顶角相等)，∠BAF=∠F（内错角相等）
所以∠F=∠CEF 所以CE=CF
(2)若∠ABC=90°,所以ABCD为矩形，
过G作GM⊥BC于M，GN⊥CF于N，连BG
所以AB=BE=DC
G为EF中点，所以MGNC为正方形，
EM=CN 所以 BM(BE+EM)=DN(DC+CN)
又因为∠BMG=∠DNG GM＝GN
所以△BGM≌△DGN
所以BG=DG，
因为∠DGN+∠MGD=90度（正方形中）， 而∠BGM=∠DGN 所以∠BGD＝90度
在三角形DBG中BG=DG 所以∠BDG=45度