Question

高数问题（微分方程）

设函数y=y(x)在[1，+∞）上连续，若由函数y=y(x)，直线x=1，x=t（t>1）与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所称的旋转体的体积为V(t)=π/3[t^2y(t)-y(1)],试求y=y(x)所满足的微分方程

Answer 1

函数y=f(x)，直线x=1，x=t（t>1）与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所称的旋转体的体积为
∫(1→t)f(x)dx = π/3[t^2f(t)-f(1)],
对上式左右两边对 t 求导得到
f(t) = π/3[2t·f(t) + t^2·f '(t)],
整理即有
(πt^2)y' + (2πt - 3)y = 0
上式中，t 其实和 x 是等价的
因此有
(πx^2)y' + (2πx - 3)y = 0