Question

已知:如图,△ABC内接于圆O,角BAC的平分线交圆O于点D

已知:如图,△ABC内接于圆O,角BAC的平分线交圆O于点D，交圆O的切线BF于点F，B为切点，求证：（1）BD平分角CBF；（2）AB·BF=AF·CD

Answer 1

【解】：

【1】
因为，BF是切线
所以，∠FBD=∠BAF（切线夹的弦所对圆周角与切线和弦的夹角相等）
因为，∠DBC=∠DAC（同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等）
∠BAF=∠DAC（角平分线）
所以，∠FBD=∠DBC
即得：BD是∠FBC的角平分线。

Q.E.D

【2】
因为，DA是∠BAC的角平分线
所以，BD=CD（同圆或等圆中，圆周角相等，对应的弦相等）
在△FBA与△FDB中
∠F=∠F，∠BAF=∠FBD
所以，△FBA∽△FDB
可得：AB/BD = AF/BF
即AB*BF=BD*AF
因为，BD=CD
所以，AB*BF=AF*CD

Q.E.D.

Answer 2

证明：
（1）
∵BF是圆O的切线
∴∠FBD=∠BAD
∵∠CBD=∠CAD（同弧所对的圆周角相等），AD平分∠BAC
∴∠FBD=∠CBD
即BD平分角CBF
（2）
连接CD
∵AD平分∠BAC
∴弧BD=弧CD
∴BD=CD
∵∠FBD=∠FAB，∠F=∠F
∴△FBD∽△FAB
∴FB/AF=BD/AB
∴AB*BF=AF*BD=AF*CD

追问

为什么“∵BF是圆O的切线
∴∠FBD=∠BAD”

Answer 3

∠1=∠BAD,∠2=∠CAD,∠3=∠FBD,∠4=∠DBC
证明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，（2分）
∵BF切⊙O于点B，∴∠3=∠2，
∴∠3=∠1，（4分）
又∵∠2=∠4，
∴∠3=∠4，即BD平分∠CBF；（6分）

（2）在△DBF和△BAF中，
∵∠3=∠1，∠F=∠F，
∴△DBF∽△BAF，（8分）
∴
BDAB
=
BFAF
即AB•BF=AF•BD（10分）
∵∠1=∠2，
∴BD=CD，（11分）
∴AB•BF=AF•CD．（12分）