已知a,b,c均为正数,且a^2+b^2=c^2,求证:c^3/2<a^3+b^3<c^3
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先证右半边：
c=(a^2+b^2)^1/2
所以a^3+b^3<c^3
等价于a^3+b^3<(a^2+b^2)^3/2
等价于(a^3+b^3)^2<(a^2+b^2)^3
等价于2a^3b^3<3a^4b^2+3b^4a^2
等价于2ab<3a^2+3b^2
由均值不等式3(a^2+b^2)>3*2ab>2ab
证毕。
左边的半部分，我简单的举个反例：
a=0.3 b=0.4 c=0.5
满足a,b,c均为正数,且a^2+b^2=c^2
但是c^3/2>a^3+b^3
c=(a^2+b^2)^1/2
所以a^3+b^3<c^3
等价于a^3+b^3<(a^2+b^2)^3/2
等价于(a^3+b^3)^2<(a^2+b^2)^3
等价于2a^3b^3<3a^4b^2+3b^4a^2
等价于2ab<3a^2+3b^2
由均值不等式3(a^2+b^2)>3*2ab>2ab
证毕。
左边的半部分，我简单的举个反例：
a=0.3 b=0.4 c=0.5
满足a,b,c均为正数,且a^2+b^2=c^2
但是c^3/2>a^3+b^3
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