Question

已知椭圆X^2/36+Y^2/9=1,弦AB的中点是M【3.1】求弦AB所在的直线方程

Answer 1

设A（x1，y1），B（x2，y2），
代入椭圆方程得
x1^2/36+y1^2/9=1 (1)
x2^2/36+y2^2/9=1 (2)
两式相减，得 (x2+x1)(x2-x1)/36+(y2+y1)(y2-y1)/9=0，
由于 x1+x2=6，y1+y2=2，代入上式，得 (x2-x1)/6+2(y2-y1)/9=0，
解得 (y2-y1)/(x2-x1)=-3/4，
即直线AB的斜率k=-3/4，
所以，它的方程为 y=-3/4*(x-3)+1，即 3x+4y-7=0。

追问

没有其他方法了么，老师让我们用不同的方法算

追答

对不起，最后直线方程化错了，应该是 3x+4y-13=0。

这种方法叫点差法，在有关中点及斜率的题中经常用到，对此题也是比较简单的一种方法。

法二：设直线方程为 y=k(x-3)+1，代入椭圆方程得
x^2/36+[k(x-3)+1]^2/9=1，
化简得（好麻烦啊）(1+4k^2)x^2+8k(1-3k)x+4(1-3k)^2-36=0，
所以 由 x1+x2=-8k(1-3k)/(1+4k^2)=6 得 k=-3/4，
因此，直线方程为 3x+4y-13=0。

Answer 2

设A点的坐标为（X1，Y1），B的坐标为（X2，Y2），
因为AB点都在椭圆上，，所以AB点都满足椭圆方程，，
得：(X1)^2/36+(Y1)^2/9=1
(X2)^2/36+(Y2)^2/9=1
(X1)^2/36+(Y1)^2/9=(X2)^2/36+(Y2)^2/9
(X1)^2+4(Y2)^2=(X2)^2+4(Y2)^2
(X1)^2-(X2)^2=4[(Y2)^2-(Y1)^2]
(X1-X2)(X1+X2)=4(Y2-Y1)(Y2+Y1) 方程1
因为AB的中点坐标为M(3,1)
所以(X1+X2)/2=3;
(Y1+Y2)/2=1
所以X1+X2=6 Y1+Y2=2
方程1为：6(X1-X2)=8(Y2-Y1)
(Y2-Y1)/(X1-X2)=6/8
(Y1-Y2)/(X1-X2)=-3/4
所以k=-3/4
所以直线方程为:y-1=(-3/4)(x-3)
y=(-3x)/4+13/4

Answer 3

X1^2/36+Y1^2/9=1 X2^2/36+Y2^2/9=1 相减 得到 X1²-X2²/36+Y1²-Y2²/9=0 化简得Y1-Y2/X1-X2=(1/4)X0/Y0=-3/4 直线为y-1=-(3/4)(x-3)

Answer 4

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