Question

阅读下面材料，并解决问题：（1）如图（1），等边△ABC内有一点P若点P到顶点A,B,C,的距离分别为3，4，5…

阅读下面材料，并解决问题：（1）如图（1），等边△ABC内有一点P若点P到顶点A,B,C,的距离分别为3，4，5…
[ 标签：材料,abc顶点 ] (1)如图，等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5则∠APB=__________，由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌__________这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数．(2)请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF²=BE²+FC²．

Answer 1

1.已知正△ABC内一点P到三个顶点A，B，C的距离分别是3，4，5，求△ABC的面积

解：如图，将△PAB旋转60°得三角形QCB，连接PQ，得正△PQB
∴PQ=PB=4，CQ=PA=3，PC=5，∠PQC=90°，∠BQC=150°，
过B作BM⊥CQ，垂足点M，
在△BQM中，BQ=PB=4，∠BQM=180°-∠BQC=30°，∠M=90°
∴BM=2，QM=2√3，CM=3+2√3
∴BC平方=BM平方+CM平方=25+12√3
∴△ABC的面积=（√3）/4BC平方=（√3）/4×（25+12√3）=（36+25√3）/4。

（边长为a的正三角形的面积=（√3）/4×a平方）

2.已知正方形ABCD内一点P到点A，B，C的距离分别为1，2，3，求正方形ABCD的面积

解：如图，将△PAB旋转90°得三角形QCB，连接PQ，得等腰直角△PQB
∴PQ=√2PB=2√2，CQ=PA=1，PC=3，∠PQC=90°，∠BQC=135°，
过B作BM⊥CQ，垂足点M，
在△BQM中，BQ=PB=2，∠BQM=180°-∠BQC=45°，∠M=90°
∴BM=QM=√2，CM=1+√2
∴BC平方=BM平方+CM平方=5+2√2
∴正方形ABCD的面积=BC平方=5+2√2。

解：（1）将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，
∴△BAP≌△CAP′，
∴AB=AC，AP=AP′，∠BAP=∠CAP′，
∴∠BAC=∠PAP′=60°，
∴△APP′是等边三角形，
∴∠APP′=60°，
因为B P P′不一定在一条直线上
连接PC，
∴P′C=PB=4，PP′=PA=3，PC=5，
∴∠PP′C=90°，
∴△PP′C是直角三角形，
∴∠APB=∠AP′C=150°，
∴∠BPA=150°；
故答案是：150°，△ABP；

（2）把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG．
则△ACF≌△ABG．
∴AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°．
∵∠BAC=90°，∠GAF=90°．
∴∠GAE=∠EAF=45°，
在△AEG和△AFE中，
∵ AG=AF∠GAE=∠FAEAE=AE
∴△AEG≌△AFE．
∴EF=EG，
又∵∠GBE=90°，
∴BE2+BG2=EG2，
即BE2+CF2=EF2．

Answer 2

1)150°　△ABP

（2）证明：将△ABE绕A点旋转到△AC处，此时△ABE≌△AC，BE＝C，AE＝A＝∠CA，∴，

连结，在中，，

又

∴≌，∴

∴

Answer 3

∠AP‘C 三角形ABP