Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，以AB上的一点O为圆心分别与均AC，BC相切于点D、E．

①求⊙O的半径；
②求sin∠BOC的值．

Answer 1

解：
设圆半径为x
连接OD、OE
∵D、E是切点
∴OD⊥AC, OE⊥BC,OD=OE
∴四边形ODCE是正方形
则OD=OE=DC=EC=x
△AOD∽△ABE
则 AD:OD=OE:BE
即（4-x）/x=x:(2-x)
解得：x=4/3
AB²=AC²+BC²=16+4=20
AB=2√5
sinA=BC/AB=2/(2√5)=√5/5
cosA=AC/AB=4/(2√5)=2√5/5
sin∠BOC=sin(∠ACO+∠A)
=sin(45°+∠A）
=sin45°cos∠A+cos45°sin∠A
=√2/2* 2√5/5+ √2/2*√5/5
=3√10/10

Answer 2

①设⊙O的半径为r
连结OD，OE
∵⊙O切AC于D，切BC于E
∴∠ADO=90°
∠OEC=90°
DC=EC
∵∠ODC=∠OEC=∠DCE=90°
∴四边形ODCE是矩形
又∵DC=EC
∴矩形ODCE是正方形
∴DC=OD=r
在△ADO和△ACB中，
∵∠ADO=∠ACB=90°，∠A=∠A
∴△ADO∽△ACB
∴AD/AC=OD/BC
即(AC-DC)/AC=OD/BC
∴(4-r)/4=r/2
r=4/3
②在正方形OECD中
∠OCE=45°
∴sin∠OCE=√2/2
在Rt△ABC中，AB²=AC²+BC²
解得AB=2√5
∵OD//BC
∴OB/AB=DC/AC
∴OB=DC*AB/AC=(4/3)*2√5/4=2√5/3
∵sin∠BOC/BC=sin∠OCB/OB（正弦定理）
∴sin∠BOC=sin∠OCB*BC/OB=(√2/2)*2/(2√5/3)=3√10/10

Answer 3

1.连接od oe则odce为正方形且边长为半径r且od平行于bc
所以ad=4-r od/bc=ad/ac
即r/2=(4-r)/4 r=4/3
2.sinb=ac/ab=2/根下5 oc=4/3*根号2
由正玄定理得bc/sinboc=oc/sinb可求sin∠BOC=3*根下10/10