Question

如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，-1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点

如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，-1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
（3）在题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：1）抛物线的顶点坐标为Q(2,-1)
所以 x=-b/2a=2 得 b= -4a
y=-b²/4a+c=-1 得 4a=c+1
点c（0,3）在抛物线上 得 c=3
得a=1 b=-4
所以抛物线方程为y=x²-4x+3
2）当 y=0时 x²-4x+3=0 解得 x1=3 ，x2=1
所以由题意得A(3,0) ,B(1,0)
所以AC的直线方程为 x+y=3
设P(x,y)
因为PD‖y轴 所以D的横坐标为x
所以D（x，3-x）
ΔADP是直角三角形时
所以①当∠DPA=90°P与B重合 为（1,0）
②当∠DAP=90时
向量 AP=(3-X,-y) 向量AD=(3,-3)
所以 9-3x+3y=0 得 y-x+3=0
在抛物线上 所以 x²-5x+6=0
得x1=2 或x2=3（舍去，P与A不重合）
所以 P(2，-1)
3)
①当P（1,0）时不存在以APEF为顶点的平行四边形
②当P(2，-1)
设 E(k,0) F（x2,y2）
向量AP=(1,1) 向量FE=(x2-k,y2)

1×y2－1×(x2-k)=0 得y2=x2-k 注：平行四边形对边平行

2=（x2-k）²+y2 ² 所以y2 ²=1 注：平行四边形对边相等

当y2=1时y=x²-4x+3=1 得x ²-4x+2=0
解得x=（4±√8）/2=2±√2
当x=2-√2 k=x2-y2=2-√2-1=1-√2
当x=2+√2时 k=x2-y2=2+√2-1=1+√2
当y2=-1时 只有一点 舍去
所以F坐标为 （2-√2,1）或（2+√2,1）

Answer 2

解：1）抛物线的顶点坐标为Q(2,-1)
所以 x=-b/2a=2 得 b= -4a
y=-b²/4a+c=-1 得 4a=c+1
点c（0,3）在抛物线上 得 c=3
得a=1 b=-4
所以抛物线方程为y=x²-4x+3
2）当 y=0时 x²-4x+3=0 解得 x1=3 ，x2=1
所以由题意得A(3,0) ,B(1,0)
所以AC的直线方程为 x+y=3
设P(x,y)
因为PD‖y轴 所以D的横坐标为x
所以D（x，3-x）
ΔADP是直角三角形时
所以①当∠DPA=90°P与B重合 为（1,0）
②当∠DAP=90时
向量 AP=(3-X,-y) 向量AD=(3,-3)
所以 9-3x+3y=0 得 y-x+3=0
在抛物线上 所以 x²-5x+6=0
得x1=2 或x2=3（舍去，P与A不重合）
所以 P(2，-1)
3)
①当P（1,0）时不存在以APEF为顶点的平行四边形
②当P(2，-1)
设 E(k,0) F（x2,y2）
向量AP=(1,1) 向量FE=(x2-k,y2)

1×y2－1×(x2-k)=0 得y2=x2-k 注：平行四边形对边平行

2=（x2-k）²+y2 ² 所以y2 ²=1 注：平行四边形对边相等

当y2=1时y=x²-4x+3=1 得x ²-4x+2=0
解得x=（4±√8）/2=2±√2
当x=2-√2 k=x2-y2=2-√2-1=1-√2
当x=2+√2时 k=x2-y2=2+√2-1=1+√2
当y2=-1时 只有一点 舍去
所以F坐标为 （2-√2,1）或（2+√2,1）