Question

关于 线性代数 中 特征值与特征向量 的问题

1.为什么A与B等价的充要条件是A与B的秩相同(r(A)=r(B))？
为什么A与B相似的充要条件是A与B的迹相同（tr(A)=tr(B)？
2.设A = ξ η†（ η†表示η的逆，上标打不出来），其中
ξ = [X1,X2, … ,Xn]† ≠ 0，η = [X1,X2, … ,Xn]† ≠ 0.
求证：ξ是A的特征向量，并指出其对应的特征值。
说错了%>_<% （η†表示η的转置）！！！

Answer 1

等价就是用一系列初等行列变换的两个矩阵，只要秩相等，两个矩阵就都能化为标准形，对角线有r=r(A)个1，其余为0的矩阵。
第二个结论不对，相似矩阵迹相等，但迹相等不一定相似。
第二题根本没看明白，是说A写成两个可逆矩阵的乘积吗？

追问

是的，那两个是乘积。
还有等价不是两个向量组可以互相线性表示么？

追答

那是向量组的等价，不是矩阵的等价。当然可以证明两者之间是等价的一个问题。
第二题看明白了，是两个向量的乘积，不是矩阵。
A=xy^T,x y都非零，则Ax=xy^Tx=(y^Tx)x，注意y^Tx是一个实数，故x是特征向量，y^Tx就是对应的特征值。