Question

过抛物线y^2=4X焦点的直线交抛物线于A、B两点，己知|AB|=10，o为坐标原点，求厶OAB的重心坐标

Answer 1

设A(x1,y1) B(x2,y2)
y^2=4x的焦点坐标为(1,0)，设AB的方和为y=k(x-1)代入y^2=4x得：k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0
x1+x2=(2k^2+4)/k^2 x1x2=1
|AB|=√(1+k^2)√[(x1+x2)^2-4x1x2]=√(1+k^2)√[(2k^2+4)^2/k^4-4]=4(1+k^2)/k^2=10 k=+-1
当k=1时，x1+x2=6。AB的中点坐标为M(3,2)。设三角形OAB重心为N(x0,y0)
向量ON=2*向量NM ，(x0,y0)=2*(3-x0,2-y0) x0=2 y0=4/3
三角形OAB的重心坐标是(2,4/3)

Answer 2

用“参数法”
可设点A(a², 2a), B(b², 2b)
[1]
∵由题设可知,三点A,F,B共线,
∴由三点共线条件可知
ab=-1
[2]
由抛物线定义可知
|FA|=a²+1
|FB|=b²+1
∴|AB|=|FA|+|FB|=(a²+b²)+2=10
∴a²+b²=8
∴(a+b)²=a²+b²+2ab=8-2=6
∴a+b=±√6
[3]
可设重心G(x,y)
由重心坐标公式
x=8/3
y=±(2√6)/3