Question

如图,已知ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,ΔPAD是等腰三角形,M,N分别是AB,PC的中点。求证MN⊥平面PCD。

Answer 1

设AB＝2m、AD＝2n。令CD的中点为E。
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AM、PA⊥AD，又△PAD是等腰三角形，∴PA＝AD＝2n。
∵ABCD是矩形，∴BC＝AD＝2n、BC⊥BM。
∵AM＝BM、AB＝2m，∴AM＝BM＝m。

由勾股定理，有：
PM＝√（PA^2＋AM^2）＝√（4n^2＋m^2）、　CM＝√（BM^2＋BC^2）＝√（4n^2＋m^2）。
∴PM＝CM，又PN＝CN，∴MN⊥PC。

由勾股定理，还有：
AC＝√（AB^2＋BC^2）＝√（4n^2＋4m^2）、　PD＝√（PA^2＋AD^2）＝2√2n。

∵PN＝CN、CE＝DE，∴NE是△CDP的中位线，∴NE＝PD/2＝√2n。

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，∴由勾股定理，有：
PC＝√（PA^2＋AC^2）＝√（4n^2＋4m^2＋4n^2）＝2√（2n^2＋m^2），
∴NC＝√（2n^2＋m^2）。
∴MN＝√（CM^2－NC^2）＝√（4n^2＋m^2－2n^2－m^2）＝√2n。

∵ABCD是矩形，又M、E分别是AB、CD的中点，∴ME＝AD＝2n。
∴由MN＝√2n、NE＝√2n、ME＝2n，得：MN^2＋NE^2＝ME^2，
∴由勾股定理的逆定理，有：MN⊥NE。

由MN⊥PC、MN⊥NE、PC∩NE＝N，得：MN⊥平面PCE，即：MN⊥平面PCD。

追问

我要空间坐标的

追答

以A为原点，AD所在直线为x轴、AB所在直线为y轴、AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，并使点N处于第一卦限内。
令AD＝2a、AB＝2b。则：
点A的坐标是（0，0，0）、点B的坐标是（0，2b，0）、点D的坐标是（2a，0，0）。
∵ABCD是矩形，∴点C的坐标是（2a，2b，0）。
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，而△PAD是等腰三角形，∴PA＝AD，
∴点P的坐标是（0，0，2a）。

∵M是AB的中点，∴由中点坐标公式，得：点M的坐标是（0，b，0）。
∵N是PC的中点，∴由中点坐标公式，得：点N的坐标是（a，b，a）。
∴向量MN＝（a，0，a）。

容易求出：
向量CD＝（0，－2b，0）、向量PD＝（2a，0，－2a）、向量PC＝（2a，2b，－2a）。
设向量DE是平面PCD的法向量，且点E的坐标是（c，d，e）。
∴向量DE＝（c－2a，d，e）。

显然有：向量DE·向量PD＝0、向量DE·向量CD＝0。
∴2a（c－2a）－2ae＝0、－2bd＝0。∴c－2a＝e、d＝0。∴向量DE＝（e，0，e）。

由向量向量MN＝（a，0，a）、向量DE＝（e，0，e），得：向量MN∥向量DE，
∴MN⊥平面PCD。