Question

如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M,N分别是AB，PC的中点

（1）求证MN⊥AB
(2)设二面角P-CD-A的大小为锐角θ，问：θ为何值时，MN与AB,PC都垂直？

Answer 1

取AC的中点为H，连接MH、NH，

因M,N分别是AB，PC的中点

则MH、NH分别是△ABC、△APC的中位线

因PA⊥矩形ABCD所在的平面，

∴NH⊥矩形ABCD所在的平面，MH是MN在矩形ABCD上的射影

又MH⊥AB，∴MN⊥AB

连接M、P以及M、C，因N是PC的中点，

∴△PMC中，当MP=MC时，MN⊥PC，此时亦有MN⊥AB

当MP=MC时，因AM=BM，∴直角△APM≅直角△BCM

则PA=BC=AD

因AD是PD在矩形ABCD上的射影，AD⊥DC，∴PD⊥DC

又直角△PAD中，PA=AD，∴∠PDA=45°

即：当二面角P-CD-A的大小=45°时，MN与AB,PC都垂直。

Answer 2

好好看书，高中知识。实在不会建议用空间直角坐标系求解！但是比较麻烦，计算量太大。

追问

空间直角坐标系是个什么东西？

追答

建立空间直角坐标系，用向量法求解。

追问

没学到。、。