Question

三角形ABC中,AD是角BAC的平分线,AD的垂直平分线交AD于点E,交BC的延长线于点F,连接AF.

三角形ABC中,AD是角BAC的平分线,AD的垂直平分线交AD于点E,交BC的延长线于点F,连接AF.求证：三角形ABF相似于三角形CAF.

Answer 1

由图及题意可以得到要△ABF与△CAF相似，因∠AFB＝∠AFC，所以只要求证∠FAC＝∠B，或∠BAF＝∠ACF；即可以得到三角形相似；
∠ACF=180°-∠ACD=∠CAD+∠CDA；
因为FE为AD的垂直平分线；
所以△ADF为等腰三角形，且∠CDA=∠DAF；
因为AD是角BAC的平分线；
所以∠BAD=∠CAD
即得到∠ACF=180°-∠ACD=∠CAD+∠CDA=∠DAF+∠BAD=∠BAF
所以得到△ABF与△CAF相似

Answer 2

EF垂直平分AD ∴FA=FD∴∠FAD=∠FDA
AD是角BAC的平分线∴∠BAD=∠CAD
∠B=∠FDA-∠BAD ∠CAF=∠FAD-∠CAD ∴∠B=∠CAF再加公共角afc即可

Answer 3

证明
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
∵EF垂直平分AD
∴EA＝ED
∴∠EAD＝∠EDA
∵∠EAD＝∠EAC+∠CAD，∠EDA＝∠B+∠BAD
∴∠EAC＝∠B
∵∠AFB＝∠CFA
∴△ABF相似于△CAF